Lagrangeova funkce

Lagrangeova funkce nebo také lagrangián/lagranžián, popř. také kinetický potenciál systému, je funkce, která v sobě zahrnuje popis dynamiky systému. Tato funkce je pojmenována po Lagrangeovi, který ji zavedl v rámci své formulace klasické mechaniky.

Definice

Pro konzervativní systém má lagrangián tvar

L=L(q_{1},q_{2},....q_{m},{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},...,{\dot {q}}_{m},t)=T(q_{1},q_{2},....q_{m},{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},...,{\dot {q}}_{m},t)-V(q_{1},q_{2},...,q_{m},t)

kde $q_{1},q_{2},...,q_{m}\,$ jsou zobecněné souřadnice, ${\dot {q}}_{i}$ jsou zobecněné rychlosti, $T$ je celková kinetická energie, $V$ je potenciální energie a $m$ je počet stupňů volnosti.

Obecnější tvar Lagrangeovy funkce lze získat pomocí zobecněné potenciálové funkce $U(q_{1},q_{2},....q_{m},{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},...,{\dot {q}}_{m},t)$ , tzn. funkce, pomocí které lze zobecněné síly zapsat ve tvaru $Q_{j}=-{\frac {\partial U}{\partial q_{j}}}+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial U}{\partial {\dot {q}}_{j}}}$ . Pak:

L=T(q_{1},q_{2},....q_{m},{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},...,{\dot {q}}_{m},t)-U(q_{1},q_{2},....q_{m},{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},...,{\dot {q}}_{m},t)

^{[pozn. 1]}

Takový lagrangián umožňuje popisovat např. viskózní látky nebo zahrnout působení Lorentzovy síly.

Vlastnosti

Z Hamiltonova principu lze odvodit, že pokud je systém popsán Lagrangeovou funkcí $L$ pak může být systém popsán také Lagrangeovou funkcí

L_{\mathrm {var} }=L+{\dot {F}}(q_{1},q_{2},....q_{m},t)

,

kde $F$ je libovolná funkce polohy a času.

Hustota lagrangiánu

Zejména v kvantové teorii pole se používá hustota lagrangiánu, vyjadřující jeho prostorové rozložení. Vzájemná souvislost je dána vztahem

L=\int {\mathcal {L}}(q_{j}(\mathbf {x} ),{\dot {q}}_{j}(\mathbf {x} ),t)\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {x}

Jednoduché příklady

Lagrangián částice s rychlostí $v\,$ v konzervativním poli s potenciální energií $E_{\mathrm {p} }\,$

L={\tfrac {1}{2}}mv^{2}-E_{\mathrm {p} }

Lagrangián částice s nábojem $q\,$ v elektromagnetickém poli s elektrickým potenciálem $\varphi \,$ a magnetickým vektorovým potenciálem $\mathbf {A} \,$

L={\tfrac {1}{2}}mv^{2}-q(\varphi -\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} )

Lagrangián relativistické částice (pro nenabitou částici odpadá člen s $q\,$ ):

L=-m_{0}c^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}-q(\varphi -\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} )

Poznámky

↑ Zobecněná potenciálová funkce se někdy značí M. Symbol U je vyhrazen jen pro část, která neodpovídá konzervativním silám, tedy M = V + U. Lagrangeova funkce je pak zavedena vztahem L = T - M = T - (V + U)

Literatura

BRDIČKA, Miroslav; HLADÍK, Arnošt. Teoretická mechanika. Redakce Karel Juliš, Aleš Baďura, Petr Čech. 1. vyd. Praha: Academia, 1987. 584 s. 21-093-87. Kapitola 2.4.4 Klasifikace sil, 3.8.2 Hamiltonův princip, s. 102, 272.
LEECH, J. W. Klasická mechanika. 1. vyd. Praha: SNTL, 1970. 136 s. (Teoretická knižnice inženýra). 04-012-70. Kapitola III. Lagrangeovy rovnice, s. 24–26.

Související články

Pahýl

Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.

[1] Zobecněná potenciálová funkce se někdy značí M. Symbol U je vyhrazen jen pro část, která neodpovídá konzervativním silám, tedy M = V + U. Lagrangeova funkce je pak zavedena vztahem L = T - M = T - (V + U)

[pozn. 1]